数学　積分　一覧

備忘録です。

積分公式

• \(\displaystyle \int x^n dx= \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \quad(n\neq-1)\)
• \(\displaystyle \int x^{n} dx = \int \frac{1}{x} dx= \log_e{|x|} +C\quad(n=-1)\)
• \(\displaystyle \int \frac{1}{1+x} dx= \log_e{|1+x|} +C\)
• \(\displaystyle \int \sin xdx= -\cos x+C\)
• \(\displaystyle \int \cos xdx= \sin x+C\)
• \(\displaystyle \int \tan xdx= -\log_e|\cos x|+C\)
• \(\displaystyle \int \log xdx= x\log x- x +C\)
• \(\displaystyle \int e^{ax}dx= ae^{ax}+C\)
• \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-A(r-k)^2}dr=\sqrt{\frac{\pi}{A}}\)
• \(\displaystyle \int a^xdx= \frac{a^x}{\log_e a}+C \qquad (a>0, a \neq1)\)
• \(\displaystyle \int \frac{1}{cos^2 x}dx= \tan x+C\)
• \(\displaystyle \int \frac{1}{sin^2 x} dx= -\frac{1}{\tan x}+C\)
• \(\displaystyle \int \frac{1}{\sin x}dx= \frac{1}{2}\log \left(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C\)
• \(\displaystyle \int \frac{1}{\cos x}dx= \frac{1}{2}\log \left(\frac{1+\sin x}{1- \sin x}\right)+C\)
• \(\displaystyle \int \frac{1}{\tan x}dx=\log | \sin x| +C\)
• \(\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|\)

*\(e \approx 2.71828182845 \cdots \)=ネイピア数＝自然対数の底

積分例

• 長さを求める：\(\displaystyle L(f)=\int_0^1 \sqrt{1+f'(x)^2}dx\)

部分積分

２つ関数の積を積分するときに使う

\(\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx \)

瞬間部分積分

\(\displaystyle \int fg dx=fg^{+}-f^{-}g^{+2}+f^{-2}g^{+3}-f^{-3}g^{+4}+\cdots\)

１回目、２回目、３回目、４回目と続け、fgどちらかが無くなるか、左辺と同じ式になるまで続ける。　これを盾に並べると見やすくなり間違えにくい。

その他

複素指数関数の積分

\(\displaystyle \int e^{(ax;bxi)}dx= \frac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}+C\)

シュワルツの不等式の積分形

\(\displaystyle \left\{\int_p^q f(x)^2dx\right\}\left\{\int_p^q g(x)^2dx\right\} \geq \left\{\int_p^q f(x)g(x)dx\right\}^2\)

統合成立条件は、\(g(x)-tf(x)\)となる\(t\)が存在する（又は\(f=0\))こと。

ベータ関数の積分公式

\(m,n\)が\(0\)以上の整数のとき、以下のベータ関数の積分公式となる。

\((i)\) 第一種オイラー積分

\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^n dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}\)

\((ii)\)\(\alpha=0,\beta=1\)のとき

\(\displaystyle \int_{0}^{1} x^m(1-x)^n dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}\)

ガウス積分

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\) (但し、\(a>0\))

正規分布（ガウス分布）の確率密度の積分が有

正規分布（ガウス分布）の確率密度の積分が有

その他

自然現象を扱う為のネイピア数

\(X\)が現象、\(t\)が経過時間

\(\displaystyle \frac{dX}{dt}=^kX\)

\(X\)と\(t\)をそれぞれ左辺、右辺に集め両辺を積分する。

\(\displaystyle \int \frac{1}{X}dX=\int -kdt\)

\(\displaystyle \log_e X=-kt+C\)

初期条件　\(t=0\)のとき、\(X=X_0\)として

\(\displaystyle X=X_0e^{-kt}\)

薬・光等の吸収、温度の冷め方、減衰率、人口増加、など、このネイピア数を使って表せれる。